在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高...

在△ABC中，两个定点A（-3，0）B（3，0），△ABC的垂心H（三角形三条高线的交点）是AB边上高线CD的中点．
（1）求动点C的轨迹方程；
（2）斜率为2的直线l交动点C的轨迹于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值（O是坐标原点）．

（1）设出动点C的坐标，利用AH⊥BC，kAH•kBC=-1即可求解动点C的轨迹方程；（2）通过斜率为2的直线l，设出直线方程，利用直线交动点C的轨迹于P、Q两点，联立直线与椭圆的方程组成方程组，求出弦长，利用点到直线的距离，表示△OPQ面积，利用基本不等式求出面积的最大值．【解析】（1）设动点C（x，y）则D（x，0）．因为H是CD的中点，故因为AH⊥BC所以kAH•kBC=-1故整理得动点C的轨迹方程（2）设l：y=2x+m并代入得6x2+4mx+m2-18=0， ∵△=（4m）2-4×6×（m2-18）＞0 ∴54-m2＞0 即，又原点O到直线l的距离为 ∴S△OPQ=×××=≤ 当且仅当54-m2=m2即时等号成立，故△OPQ面积的最大值为．

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