Question

已知函数f（x）=x³+（1-a）x²-a（a+2）x（a∈R），f′（x）为f（x）的导数．
（1）当a=-3时，求y=f（x）的单调区间和极值；
（2）设，是否存在实数，对于任意的x₁∈[-1，1]，存在x₂∈[0，2]，使得f′（x₁）+2ax₁=g（x₂）成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（1）当a=-3时，f（x）=x3+4x2-3x，f'（x）=3x2+8x-3，令f'（x）=0得：x1=-3、，由此能求出y=f（x）的单调区间和极值．
（2）在[0，2]上，是增函数，故对于x2∈[0，2]，．设．h'（x1）=6x1+2，由h'（x1）=0，得．要使对于任意的x1∈[-1，1]，存在x2∈[0，2]使得h（x1）=g（x2）成立，只需在[-1，1]上，-，由此能求出实数a的范围．
【解析】
（1）当a=-3时，f（x）=x3+4x2-3x，f'（x）=3x2+8x-3，
令f'（x）=0得：x1=-3、
所以f（x）在单调递减．在单调递增   
所以f（x）极大=f（-3）=18，f（x）极小=，
（2）在[0，2]上是增函数，故对于x2∈[0，2]，．
设．h'（x1）=6x1+2，
由h'（x1）=0，得．
要使对于任意的x1∈[-1，1]，存在x2∈[0，2]使得h（x1）=g（x2）成立，只需在[-1，1]上，
-，
在（-1，-）上h′（x1）＜0，在（-，1）上h′（x1）＞0，
∴时，h（x1）有极小值，
∵h（-1）=1-a2-2a，h（1）=5-a2-2a，
∵在[-1，1]上，h（x1）只有一个极小值，
故h（x1）的最小值为-，
，
解得-2≤a≤0．