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某同学在研究函数f(x)=x2ex的性质时,得到如下的结论: ①f(x)的单调递...

某同学在研究函数f(x)=x2ex的性质时,得到如下的结论:
①f(x)的单调递减区间是(-2,0);
②f(x)无最小值,无最大值
③f(x)的图象与它在(0,0)处切线有两个交点
④f(x)的图象与直线x-y+2012=0有两个交点
其中正确结论的序号是   
①求导函数,令f′(x)<0,可得f(x)的单调递减区间; ②令f′(x)>0,可得f(x)的单调递增区间,即可得到结论; ③求得函数在(0,0)处切线方程,结合f(x)=x2ex>0,可得结论; ④由②及f(x)=x2ex>0,即可得到f(x)的图象与直线x-y+2012=0有两个交点. 【解析】 求导函数,可得f′(x)=x2ex=(2x+x2)ex, ①令f′(x)<0,可得2x+x2<0,∴-2<x<0,∴f(x)的单调递减区间是(-2,0),即①正确; ②令f′(x)>0,可得2x+x2>0,∴x<-2或x>0,∴f(x)的单调递增区间是(-∞,-2),(0,+∞),∴函数在x=-2处取得极大值,且为最大值;在x=0处取得极小值,且为最小值,即②不正确; ③f′(0)=0,f(0)=0,则函数在(0,0)处切线方程为y=0,∵f(x)=x2ex>0,∴f(x)的图象与它在(0,0)处切线有一个交点(0,0),即③不正确; ④由②及f(x)=x2ex>0,即可得到f(x)的图象与直线x-y+2012=0有两个交点,即④正确, 综上可知,正确结论的序号是①④ 故答案为:①④
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考点分析:
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