Question

已知三角形的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量，，若．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC的面积为，求AC边的最小值，并指明此时三角形的形状．

Answer

（1）利用两个向量共线的性质、正弦定理可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，求得，从而求得B的值．
（2）由△ABC的面积为，求得ac=4，再利用余弦定理以及基本不等式求出AC的最小值．
【解析】
（1），∵，∴（2a-c）cosB=bcosC．
由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC，
即2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∵sinA＞0，∴．
∵0＜B＜π，∴． …（6分）
（2）由已知得：，∴ac=4．
由余弦定理，b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，当且仅当“a=c”时取等号．
∴AC的最小值为2，此时三角形为等边三角形．…（12分）