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如图,正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直,M、N分别是DE、AB的...

如图,正方形ABCD与等边三角形ABE所的平面互相垂直,M、N分别是DE、AB的中点.
(Ⅰ)证明:MN∥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角M-AB-E的正切值.

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(Ⅰ)欲证MN∥平面BCE,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCE内一直线平行,根据三角形的中位线可知MP∥AD∥BC,满足定理条件; (Ⅱ)先作二面角的平面角,作PO⊥AB于O点,连接OM,由平面ABCD⊥平面ABE,易得AD⊥平面ABE,再由线面垂直的性质定理得出∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角,然后分别求得,两直角边AD,MP的长度即可. 【解析】 (Ⅰ)证明:取AE的中点P,连接MP、NP. 由题意可得:MP∥AD∥BC, 又∵MP⊄平面BCE,BC⊂平面BCE ∴MP∥平面BCE,(3分) 同理可证NP∥平面BCE ∵MP∩NP=P ∴平面MNP∥平面BCE,又MN⊂平面MNP, ∴MN∥平面BCE(5分) (其他做法请参照标准给分) (Ⅱ)【解析】 作PO⊥AB于O点,连接OM. ∵平面ABCD⊥平面ABE,AD⊥AB, ∴AD⊥平面ABE. 又MP∥AD ∴MP⊥平面ABE(7分) 又∵PO⊥AB, ∴MO⊥AB. ∴∠MOP为二面角M-AB-E的平面角.(9分) 设AD=2易得:,∴.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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