Question

两个二次函数f（x）=x²+bx+c与g（x）=-x²+2x+d的图象有唯一的公共点P（1，-2）．
（Ⅰ）求b，c，d的值；
（Ⅱ）设F（x）=（f（x）+m）•g′（x），若F（x）在R上是单调函数，求m的范围，并指出是单调递增函数，还是单调递减函数．

Answer

（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点，结合二次函数的性质可求b，c，d
（II）由（I）可求f（x），g（x），代入可求F（x）=（f（x）+m）•g′（x），对函数F（x）求导，然后结合二次函数的性质可判断F‘（x）的正负，从而可判断函数的单调性
【解析】
（I）由题意可得（1，-2）为两抛物线的顶点
∴
∴d=-3，b=-2，c=2
（II）由（I）可得f（x）=x2-2x+2，g（x）=-x2+2x-3
∴F（x）=（f（x）+m）•g′（x）
=（x2-2x+2+m）（-2x+2）
∵F′（x）=-6x2+12x-（2m+8）
∵F（x）在R上是单调函数，
∴F′（x）=-6x2+12x-（2m+8）≤0恒成立
∴△=144-24（2m+8）≤0
∴m≥-1
函数是单调递减的函数