Question

点P（x，y）是曲线C：y=（x＞0）上的一个动点，曲线C在点P处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点O是坐标原点．给出三个命题：
①|PA|=|PB|；
②△OAB的周长有最小值4+2；
③曲线C上存在两点M，N，使得△OMN为等腰直角三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

先利用导数求出过点P的切线方程：①由切线方程可求得点A、B的坐标，进而利用两点间的距离公式即可证明；②先利用两点间的距离公式求出△OAB的周长，再利用基本不等式的性质即可证明；③先假设满足条件的点M、N存在，利用等腰三角形的性质只要解出即证明存在，否则不存在．
【解析】
设动点P（m＞0），则，∴，
∴过动点P的切线方程为：．
①分别令y=0，x=0，得A（2m，0），B．
则|PA|=，，∴|PA|=|PB|，故①正确；
②由上面可知：△OAB的周长=≥+=4，当且仅当，即m=1时取等号．
故△OAB的周长有最小值4+2，即②正确．
③假设曲线C上存在两点M，N，不妨设0＜a＜b，∠OMN=90°．
则，，
所以化为
解得，故假设成立．
因此③正确．
故选D