Question

若定义在[-2011，2011]上的函数f（x）满足：对于任意x₁，x₂∈[-2011，2011]有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2011，且x＞0时，f（x）＞2011，f（x）的最大值与最小值分别为M、N，则M+N的值（ ）
A．2010
B．2011
C．4020
D．4022

Answer

利用赋值法，f（0）=2f（0）-2011可求f（0），然后令x1=2011，x2=-2011可求f（2011）+f（-2011），结合已知设x1＜x2，先证明函数的f（x）的单调性，进而可求函数的最大值与最小值
【解析】
∵对于任意x1，x2∈[-2011，2011]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2011，
∴f（0）=2f（0）-2011
∴f（0）=2011
令x1=2011，x2=-2011
∴f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011
∴f（2011）+f（-2011）=4022
设x1＜x2∈[-2011，2011]
则x2-x1＞0
∵x＞0时，f（x）＞2011，
∴f（x2-x1）＞2011
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）-2011＞f（x1）
∴函数f（x）在[-2011，2011]上单调递增
∴f（x）的最大值与最小值分别为M=f（2011）、N=f（-2011）
则M+N=f（2011）+f（-2011）=4022
故选D