Question

已知函数f（x）=mx³-2x²+m²x+5（m∈R）且f（x）在x=1处取得极小值．
（1）求m的值．
（2）若g（x）=f（x）-λ（x²+2x）在（-1，+∞）上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer

（1）由函数f（x）=mx3-2x2+m2x+5（m∈R）且f（x）在x=1处取得极小值，可得f'（1）=0，解方程求出m值，代入验证是否满足条件，即可得到结论；
（2）若g（x）=f（x）-λ（x2+2x）在（-1，+∞）上是增函数，则g′（x）＞0在（-1，+∞）上恒成立，进而构造不等式可得结论．
【解析】
（1）f'（x）=3mx2-4x+m2
∵f（x）在x=1处取得极小值
∴f'（1）=m2+3m-4=0得m=1或m=-4
当m=1时   
f'（x）=3x2-4x+1=（x-1）（3x-1）
∴f（x）在上是增函数在上是减函数
∴f（x）在x=1处取得极小值
当m=-4时 f'（x）=-12x2-4x+16=-4（x-1）（3x+4）
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数 在上是增函数
∴f（x）在x=1处取得极大值极大值，不符题意
∴m=1（6分）
（2）∵m=1
∴g（x）=x3-2x2+x+5-λ（x2+2x）
∴g'（x）=3x2-4x+1-λ（2x+2）
∵g（x）在（-1，+∞）上是增函数，
∴不等式3x2-4x+1-λ（2x+2）≥0，x∈（-1，+∞）恒成立
即恒成立
令当时等号成立
∴（15分）