Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且． 设数列{b_n}的前n项和为T_n，且． 
 （1）求T_n．
（2）设函数f（x）=-x²+4x，对（1）中的数列{a_n}，是否存在实数λ，使得当x≤λ时，对任意n∈N^*恒成立．

Answer

（1）已知Sn=2n2+4n，n=1代入求得首项，利用公式an=Sn-Sn-1，求出an的通项公式，代入bn，利用裂项法进行求Tn；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤1时，f（x）≤对任意n∈N+恒成立，令Cn=，证明Cn是递增数列，只要f（x）小于C1即可，看能否解出x的范围，再进行判断；
【解析】
（1）由题意，Sn=2n2+4n，
所以a1=S1=6，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n+2，而a1也满足此式，
所以{an}的通项公式为an=4n+2，
所以bn====（），
所以Tn=（1-+-+-+…+-）
=（1-）=；
（2）假设存在实数λ，使得当x≤1时，f（x）≤对任意n∈N+恒成立，
则-x2+4x≤对任意n∈N+恒成立，
令Cn=，因为Cn+1-Cn=＞0，所以数列{Cn}是递增数列，
所以只要-x2+4x≤c1，即x2-4x+3≥0，解得x≤1或x≥3，
所以存在最大的实数λ=1，使得x≤λ时，f（x）≤对任意n∈N+恒成立．