Question

已知A、B是直线l上任意两点，O是l外一点，若l上一点C满足=cosθ+cos²θ，则sin²θ+sin⁴θ+sin⁶θ=（ ）
A．1
B．-1+
C．1+
D．-1+或1+

Answer

根据A、B、C三点共线，结合题中向量等式得到cosθ+cos2θ=1，从而cosθ=1-cos2θ=sin2θ，由此化简得sin2θ+sin4θ+sin6θ=1+cosθ-cos2θ，再由cosθ+cos2θ=1解出cosθ和cos2θ的值，代入即可得到所求的值．
【解析】
∵A、B、C三点在同一条直线l上
∴由=cosθ+cos2θ，得cosθ+cos2θ=1
因此，cosθ=1-cos2θ=sin2θ，
∴sin2θ+sin4θ+sin6θ=cosθ+cos2θ+cos3θ
结合cosθ+cos2θ=1，
得sin2θ+sin4θ+sin6θ=1+cos3θ=1+cosθ（1-cosθ）=1+cosθ-cos2θ
由cosθ+cos2θ=1解出cosθ=，得cos2θ=
∴sin2θ+sin4θ+sin6θ=1+-=-1+
故选：B