Question

如图（1）所示，正△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC的中点．现将△ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD⊥平面BCD（如图（2）），
（1）试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（2）求三棱锥C-DEF的体积．

Answer

（1）判断：AB∥平面DEF，再由直线与平面平行的判定定理进行证明．
（2）过点E作EM⊥DC于点M，由面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM⊂面ACD，知EM是三棱锥E-CDF的高，由此能求出三棱锥C-DEF的体积．
【解析】
（1）判断：AB∥平面DEF，（2分）
证明：因在△ABC中，E，F分别是AC，BC的中点，
∴EF∥AB，（5分）
又因AB⊄平面DEF，
∴EF⊂平面DEF，（6分）
所以AB∥平面DEF，（7分）
（2）过点E作EM⊥DC于点M，
∵面ACD⊥面BCD，面ACD∩面BCD=CD，而EM⊂面ACD
故EM⊥平面BCD  于是EM是三棱锥E-CDF的高，（9分）
又△CDF的面积为S△CDF====，
EM=，（11分）
故三棱锥C-DEF的体积==．（14分）