(1)先对函数f(x)求导,再计算f′(1),即为切线的斜率,进而得出切线的方程;
(2)①先在函数h(x)的定义域内对h(x)求导,根据h′(x)=0的根的大小关系,再对a分类讨论即可得出函数的单调性;
②不妨设x1<x2,则问题“对于任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,均有>-1,”⇔M(x)=h(x)+x在(0,+∞)上单调递增⇔M′(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立.
【解析】
(1)∵,∴f′(1)=0.
∴f(x)在(1,)处的切线方程为:;
(2)①∵h(x)=f(x)+ag(x)=,(x>0),a>1.
∴=,
1° 当a-1=1,即a=2时,≥0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增.
2°当a-1<1时,又a>1,即1<a<2时,
∵函数h(x)在区间(a-1,1)上,h′(x)<0;在区间(0,a-1)及(1,+∞)上,h′(x)>0.
∴函数h(x)在区间(a-1,1)上单调递减;在区间(0,a-1)及(1,+∞)上单调递增.
3°当a-1>1,即 a>2时,同理可得h(x)在区间(1,a-1)上单调递减;在区间(0,1)及(a-1,+∞)上单调递增.
②不妨设0<x1<x2,则,得h(x1)+x1<h(x2)+x2.
令M(x)=h(x)+x=,
则M(x)在(0,+∞)上单调递增,
于是=≥0在(0,+∞)上恒成立.
即R(x)=x2-(a-1)x+(a-1)≥0在(0,+∞)上恒成立.
∵a>1,∴R(0)=a-1>0,对称轴.
因此必须要求△=(a-1)2-4(a-1)≤0,又a>1,解得1<a≤5.