Question

已知函数，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）当a=1，且x≥2时，证明：f（x-1）≤2x-5．

Answer

（Ⅰ）导数在切点处的导数值是切线斜率，垂直的直线斜率互为负倒数．
（Ⅱ）导数大于0，对应区间为单调递增区间；导数小于0，对应区间为单调递减区间
（Ⅲ）用导数研究函数的单调性，求函数的最值，证明不等式．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，．
又曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直，
所以f'（1）=a+1=2，
即a=1．
（Ⅱ）由于．
当a≥0时，对于x∈（0，+∞），有f'（x）＞0在定义域上恒成立，
即f（x）在（0，+∞）上是增函数．
当a＜0时，由f'（x）=0，得．
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅲ）当a=1时，x∈[2，+∞）．
令．．
当x＞2时，g′（x）＜0，g（x）在（2，+∞）单调递减．
又g（2）=0，所以g（x）在（2，+∞）恒为负．
所以当x∈[2，+∞）时，g（x）≤0．
即．
故当a=1，且x≥2时，f（x-1）≤2x-5成立．