Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且有S_n=n²n，数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N^*），且b₃=11，前9项和为153；
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）设c_n=，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer

（1）因为数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn=n2n，利用公式an=Sn-Sn-1，求出an的通项公式；
（2）又因为bn+2-2bn+1+bn=0，所以数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质，求出bn的通项公式；
（3）由（1）可知an和bn的通项公式，代入cn=，利用裂项法，求出前n项和Tn，根据不等式Tn，求出k的值；
【解析】
（1）因为Sn=n2n，故
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n+5；当n=11时，a1=S1=6；满足上式；
所以an=n+5，
（2）又因为bn+2-2bn+1+bn=0，所以数列{bn}为等差数列；
由S9==153，b3=11，故b7=23；所以公差d==3；
所以：bn=b3+（n-3）d=3n+2；
（3）由（1）知：Cn==，
而Cn===（-）
所以：Tn=c1+c2+c3+c4+…+cn=[1-++…+-]
=（1-）=，
又因为Tn+1-Tn=-=＞0；
所以{Tn}是单调递增，故（Tn）min=T1=；
由题意可知＞；得k＜19，所以k的最大正整数为18；