Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中x∈R，A＞0，ω＞0，＜φ）的部分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知在函数f（X）的图象上的三点M，N，P的横坐标分别为-1，1，5，求sin∠MNP的值．

Answer

（Ⅰ）利用最值求得A，根据周期可求ω，结合最值点，可求φ，从而可得函数解析式，进而可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）利用函数解析式点M，N，P的坐标，结合余弦定理，即可求sin∠MNP的值．
【解析】
（Ⅰ）由图可知，A=1，最小正周期T=4×2=8．
由T==8，得ω=．…（3分）
又f（1）=sin（+φ）=1，且＜φ＜，
所以φ=．…（5分）
所以f（x）=sin（x+）．…（6分）
由得8k-3≤x≤8k+1（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[8k-3，8k+1]（k∈Z）…（8分）
（Ⅱ）因为f（-1）=0，f（1）=1，f（5）=-1，所以M（-1，0）N（1，1），P（5，-1）．…（9分）
所以|MN|=，|PN|=，|MP|=．
由余弦定理得cos∠MNP==-．…（12分）
因为∠MNP∈[0，π），所以sin∠MNP=．…（14分）