Question

定义：两个连续函数（图象不间断）f（x），g（x）在区间[a，b]上都有意义，我们称函数|f（x）+g（x）|在[a，b]上的最大值叫做函数f（x）与g（x）在区间[a，b]上的“绝对和”．
（1）试求函数f（x）=x²与g（x）=x（x+2）（x-4）在闭区间[-2，2]上的“绝对和”．
（2）设h_m（x）=-4x+m及f（x）=x²都是定义在闭区间[1，3]上，记h_m（x）与f（x）的“绝对和”为D_m，如果D（m）的最小值是D（m），则称f（x）可用“替代”，试求m的值，使f（x）可用“替代”．

Answer

（1）令F（x）=f（x）+g（x），先讨论满足F′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值，再将F（x）的各极值与其端点的函数值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值，即可求出所求；
（2）设ϕ（x）=hm（x）+f（x），根据二次函数的性质可知在闭区间[1，3]上，D（m）是|m-3|与|m-4|中较大者，然后求出D（m）的最小值时m的值即可．
【解析】
（1）令F（x）=f（x）+g（x）=x2+x（x+2）（x-4）=x3-x2-8x，
则F'（x）=3x2-2x-8=（3x+4）（x-2）．F（x），F'（x）随x的值的变化情况如下表

由表可知F（x）的值域为
故|f（x）+f（x）|在[-2，2]上的最大值为12．
从而f（x）与g（x）在[-2，2]上的“绝对和”为12．
（2）设ϕ（x）=hm（x）+f（x）=-4x+m+x2=（x-2）2+m-4．
而ϕ（1）=ϕ（3）=m-3∴D（m）是|m-3|与|m-4|中较大者．
∴
∴当m=时，D（m）最小，∴．
即时，f（x）可用“替代”