Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer

（1）由题意，函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合f（0）=1，f（1）=0这两个方程即可求得a取值范围；
（2）由题设条件，先给出g（x）=f（x）-f′（x）的解析式，求出导函数，g′（x）=（-2ax-a+1）ex，由于参数a的影响，函数在[0，1]上的单调性不同，结合（1）的结论及g′（x）可得．
（i）当a=0时；（ii）当a=1时；（iii）当0＜a＜1时，分三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值
【解析】
（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax2-（a+1）x+1]ex，
∴f′（x）=[ax2+（a-1）x-a]ex，
由题意函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax2+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x2-1）ex＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xex＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1
（2）因为 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax2-（a+1）x+1）ex-[ax2+（a-1）x-a]ex=（-2ax+a+1）ex，g′（x）=（-2ax-a+1）ex，
（i）当a=0时，g′（x）=ex＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=-2xex＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x=＞0，
①若，即0＜a≤时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若，即＜a＜1时，g（x）在x=取得最大值g（）=2a，在x=0或x=1时取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，则
当＜a≤时，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
当≤a＜1时，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e