Question

函数f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（1）当a=-1时，求函数的极值
（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，求实数a的取值范围．
（3）（理科做，文科不用做）
若a=3时，f（x）=x³+3x²+x+2的导函数f^′（x）是二次函数，f^′（x）的图象关于轴对称．你认为三次函数f（x）=x³+3x²+x+2的图象是否具有某种对称性，并证明你的结论．

Answer

（1）当a=-1时，得f（x）=x3-x2+x+2，求出f′（x），根据函数单调性可求极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，等价于f′（x）≥0恒成立，由此可解；
（3）先猜测f（x）=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称，再根据中心对称的定义进行证明即可．
【解析】
（1）当a=-1时，f（x）=x3-x2+x+2，f′（x）=3x2-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函数，所以f（x）不存在极值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x2+2ax+1≥0恒成立，则△=4a2-4×3×1≤0，解得，
所以实数a的取值范围是[]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函数，则有f′（x）≥0恒成立，
即3x2+2ax+1≥0恒成立，则△=4a2-4×3×1≤0，解得，
所以实数a的取值范围是[]．
（3）f（x）=x3+3x2+x+2的图象具备中心对称．
证明：f′（x）=3x2+6x+1的对称轴x=-1，现证f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．
设M（x，y）是y=f（x）图象上任意一点，且M（x，y）关于C（-1，3）对称的点为N（x，y），
则，得，
因为=（-2-x）3+3（-2-x）2+（-2-x）+2=-（x3+3x2+x+2）+6=-y+6=y，
故M关于点C（-1，3）对称的点N（x，y）也在函数y=f（x）的图象上，
所以f（x）的图象关于点C（-1，3）中心对称．