Question

设函数f（x）=-2x³+3（1-2a）x²+12ax-1（a∈R）在x=x₁处取极小值，x=x₂处取极大值，且．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极大值与极小值的和．

Answer

（1）求导函数，分类讨论，利用，即可求得满足条件的a的值；
（2）由（1）知，x1=-1，x2=1，求出函数极小值与极大值，即可求函数极小值与极大值的和．
【解析】
（1）求导函数，可得f′（x）=-6x2+6（1-2a）x+12a=-6（x-1）（x+2a）
令f'（x）=0，可得x=1或x=-2a
①若a≤-时，x1=1，x2=-2a，由，可得1=-2a，a=-，此时f′（x）≤0，函数无极值；
②若a＞-时，x1=-2a，x2=1，由，可得4a2=1，a=
此时，x∈（-∞，-1），f′（x）＜0；x∈（-1，1），f′（x）＞0；x∈（1，+∞），f′（x）＜0
满足条件，综上知a=
（2）由（1）知，x1=-1，x2=1； f（x1）=f（-1）=2-12×-1=-5，
∴函数极小值为-5；
f（x2）=f（1）=-2+12×-1=3，
∴函数极大值为3
∴函数极小值与极大值的和为-2