Question

设椭圆的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C上的点到焦点F₂的最短距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer

（1）求出设椭圆上的点P（x，y）到焦点F2的距离dmin=a-c，利用条件即几何量的关系，即可求得椭圆的方程；
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0，根据直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，可得m2＜3k2+1①，根据线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），可得2m=3k2+1（k≠0）②，由①②，即可求得实数m的取值范围．
【解析】
（1）设椭圆上的点P（x，y）到焦点F2的距离为d
∴
∵
∴x=a时，dmin=a-c
∴，∴，∴b=1
∴椭圆的方程为；
（2）由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0
∵直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M、N，
∴△＞0，∴m2＜3k2+1①
设M（x1，y1），N（x2，y2），∴x1+x2=
∴MN的中点为B（）．
∵线段MN垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN
∴
∴2m=3k2+1（k≠0）②
由①②得m2＜2m，∴0＜m＜2
由②得m＞
∴实数m的取值范围是．