Question

如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=，E，F分别是AD，PC的中点．建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：
（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明，即可证得PC⊥平面BEF；
（Ⅱ）确定平面BEF的法向量，平面BAP的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BEF与平面BAP夹角的大小．
（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
∵，四边形ABCD是矩形．
∴A，B，C，D，P的坐标为A（0，0，0），B（2，0，0），，
又E，F分别是AD，PC的中点，∴，
∴，
∴，（6分）
∴，
又∵BF∩EF=F，∴PC⊥平面BEF（9分）
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知平面BEF的法向量，
平面BAP的法向量，∴=8   （12分）
设平面BEF与平面BAP的夹角为θ，
则，
∴θ=45°，∴平面BEF与平面BAP的夹角为45°（15分）