Question

设椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，离心率为，其一个顶点的坐标是（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为2的直线l过椭圆C在y轴正半轴上的焦点，且与该椭圆交于A、B两点，求AB的中点坐标．

Answer

（Ⅰ）设椭圆C的标准方程，利用离心率为，其一个顶点的坐标是（1，0），求出几何量，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线方程代入椭圆方程．利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为，其焦点为（0，±c）（2分）
由已知得 b2=1，，（6分）
又a2=b2+c2（8分）∴a2=2，c=1
∴椭圆C的标准方程为（9分）
（Ⅱ）直线l的方程为 y-1=2（x-0），即y=2x+1
设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），
AB中点坐标为M（x，y）
由得6x2+4x-1=0（12分）
∴，
∴AB中点坐标为（15分）