依题意可求得b=1,c=,从而可根据x∈[0,π],|f(x)+a|≤3恒成立,利用正弦函数的性质解决.
【解析】
依题意得:f(0)=bcos0+csin0=b=1,
f()=bcos+csin=c=,
∴f(x)=cosx+sinx=2sin(x+).
又x∈[0,π],
∴≤x+≤,
∴-≤sin(x+)≤1,
∴-1≤2sin(x+)≤2,即-1≤f(x)≤2,
∴-2≤-f(x)≤1;
∵|f(x)+a|≤3恒成立,
∴-3≤f(x)+a≤3,
∴-3-f(x)≤a≤3-f(x).
∴a≥[-3-f(x)]max=-2且a≤[3-f(x)]min=1,
∴-2≤a≤1.
∴实数a的取值范围为[-2,1].
故答案为:[-2,1].