Question

已知数列{a_n}满足，数列{b_n}满足b_n=lna_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试比较的大小，并说明理由．

Answer

（1）取倒数，可得{}是以为首项，1为公差的等差数列，即可求得{}的通项公式，从而可得数列{an}的通项公式．
（2）构造函数f（x）=lnx-x+1，求导研究出f（x）的单调性，即可得到结论．
【解析】
（1）∵，∴=+1
∴
∴{}是以为首项，1为公差的等差数列
∴，∴an=；
（2）由（1）得an-1=-1，bn=lnan=ln
构造函数f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）≤f（1）=0，
即∀x＞0，lnx≤x-1，当且仅当x=1时取等号，
∴ln≤-1，即bi≤ai-1，当且仅当i=1时取等号，
∴，当且仅当i=1时取等号．