Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证．．

Answer

（Ⅰ）因为，x＞0，则，利用函数的单调性和函数f（x）在区间（其中a＞0）上存在极值，能求出实数a的取值范围．
（Ⅱ）不等式，即为，构造函数，利用导数知识能求出实数k的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，令x=n（n+1），则，由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ）因为，x＞0，
则f′（x）=…1分
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
所以f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值．…2分
因为函数f（x）在区间（其中a＞0）上存在极值，
所以，解得．…4分
（Ⅱ）不等式，
即为，记，
所以，…6分
令h（x）=x-lnx，则，∵x≥1，∴h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，从而g'（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]min=g（1）=2，所以k≤2…8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即，
令x=n（n+1），则，…10分
所以 ，，
，…，，
叠加得：=…13分．