Question

第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为、、，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer

（I）由已知中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀，是“志愿者甲、乙、两三人中没有考核为优秀”，这个事件的对立事件，利用对立事件概率减法公式，即可求出答案．
（II）根据甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，则ξ的可能取值为、2、、3，分别计算出对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ．
【解析】
（Ⅰ）记甲、乙、丙考核为优秀依次为事件A、B、C，
“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
事件A、B、C相互独立，
事件与E是对立事件；
P（E）=1-P（）=1-=；
（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为、2、、3，
P（ξ=）=P（）=，
P（ξ=2）=P（）+P（）+P（）=，
P（ξ=）=P（）+P（）+P（）=，
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
∴ξ的分布列为

∴Eξ=+=