Question

已知函数的最大值为2．
（1）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）△ABC中，，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且C=60°，c=3，求△ABC的面积．

Answer

（1）将f（x）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域表示出f（x）的最大值，由已知最大值为2列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出f（x）的解析式，由正弦函数的递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（2）由（1）确定的f（x）解析式化简f（A-）+f（B-）=4sinAsinB，再利用正弦定理化简，得出a+b=ab①，利用余弦定理得到（a+b）2-3ab-9=0②，将①代入②求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解析】
（1）f（x）=msinx+cosx=sin（x+θ）（其中sinθ=，cosθ=），
∴f（x）的最大值为，
∴=2，
又m＞0，∴m=，
∴f（x）=2sin（x+），
令2kπ+≤x+≤2kπ+（k∈Z），解得：2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），
则f（x）在[0，π]上的单调递减区间为[，π]；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，由题意C=60°，c=3，得====2，
化简f（A-）+f（B-）=4sinAsinB，得sinA+sinB=2sinAsinB，
由正弦定理得：+=2×，即a+b=ab①，
由余弦定理得：a2+b2-ab=9，即（a+b）2-3ab-9=0②，
将①式代入②，得2（ab）2-3ab-9=0，
解得：ab=3或ab=-（舍去），
则S△ABC=absinC=．