Question

定义在R上的奇函数f（x）有最小正周期4，且x∈（0，2）时，f（x）=，
（1）判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明；
（2）求f（x）在[-2，2]上的解析式；
（3）当λ为何值时，关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解？

Answer

（1）设0＜x1＜x2＜2，利用定义法能够判断f（x）在（0，2）上的单调性，并给予证明．
（2）当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）==，由f（x）为奇函数，知f（x）=-f（x）=-，由此能求出f（x）在[-2，2]上的解析式．
（3）求关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解，即求函数f（x）在[-2，2]上的值域，由此进行等价转化能求出结果．
【解析】
（1）设0＜x1＜x2＜2，
则，1-，，
∴f（x1）-f（x2）=-
=＞0，
∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，2）上为减函数．…（4分）
（2）当-2＜x＜0时，0＜-x＜2，f（-x）==，
又f（x）为奇函数，∴f（x）=-f（x）=-，…（7分）
当x=0时，由f（-0）=-f（0），得f（0）=0，…（8分）
∵f（x）有最小正周期4，
∴f（-2）=f（-2+4）=f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，…（9分）
综上，…（10分）
（3）求关于方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解，即求函数f（x）在[-2，2]上的值域．
当x∈（0，2）时，由（1）知，f（x）在（0，2）上为减函数，
∴，
当x∈（-2，0）时，0＜-x＜2，∴，
f（x）=-f（-x）∈（-，-）．
当x∈{-2，0，2}时，f（x）=0，
∴f（x）的值域为（-，-）∪{0}∪（），
∴λ∈（-，-）∪{0}∪（）时方程方程f（x）=λ在[-2，2]上有实数解．…（14分）