Question

已知，，，…，n∈N^*
（1）请写出f_n（x）的表达式（不需要证明）；
（2）求f_n（x）的极小值；
（3）设，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，证明：a-b≥e^-4．

Answer

（1）由，，，…，n∈N*，知f1（x）=ex+xex=（x+1）ex，
f2（x）=ex+（x+1）ex=（x+2）ex，，…，由此能求出fn（x）=（x+n）•ex，n∈N*
（2）由，知=（x+n+1）ex，由此能求出fn（x）的极小值．
（3）由，gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，知a-b=（n-3）2+e-（n+1）．令h（x）=（x-3）2+e-（x+1），（x≥0）．由此能够证明a-b≥e-4．
【解析】
（1）∵，，，…，n∈N*
∴f1（x）=ex+xex=（x+1）ex，
f2（x）=ex+（x+1）ex=（x+2）ex，
，
…
∴fn（x）=（x+n）•ex，n∈N*
（2）∵，
∴=（x+n+1）ex，
∵x＞-（n+1）时，；x＜-（n+1）时，，
∴当x=-（n+1）时，fn（x）取得极小值fn（-（n+1））=-e-（n+1）．
（3）∵，
gn（x）的最大值为a，fn（x）的最小值为b，
∴a=gn（-（n+1））=（n-3）2，b=fn（-（n+1））=-e-（n+1）．
∴a-b=（n-3）2+e-（n+1）．
令h（x）=（x-3）2+e-（x+1），（x≥0）
则h′（x）=2（x-3）-e-（x+1），
∵h′（x）在区间[0，+∞）上单调递增，
∴h′（x）≥h′（0）=-6-e-1，
∵h′（3）=-e-4＜0，h′（4）=2-e-5＞0，
∴存在x∈（3，4），使得h′（x）=0．
∴0≤x≤x时，h′（x）＜0；当x＞x时，h′（x）＞0．
即h（x）在区间[x，+∞）上单调递增；在区间[0，x）音调递减，
∴h（x）min=h（x）．
∵h′（3）=-e-4＜0，h′（4）=2-e-5＞0，
∴当n=3时，a-b取得最小值e-4，
所以a-b≥e-4．