Question

已知函数f（x）=
（1）判断f（x）的奇偶性；          
（2）求函数的值域；
（3）判断并用定义证明f（x）在（-∞，+∞）上的单调性．

Answer

（1）用函数的奇偶性定义判断，先求函数的定义域，看是否关于原点对称，若定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）是相等还是相反即可
（2）可运用分离常数的办法求此函数的值域，将函数f（x）=等价转化为f（x）=1-，再由复合函数值域的求法即换元法，求此函数值域即可
（3）任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，作差f（x1）-f（x2），并利用指数的运算性质，判断出f（x1）与f（x2）的大小，即可证明f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．
【解析】
（1）函数的定义域为R，
f（-x）+f（x）=+
==0
∴函数f（x）为奇函数  
 （2）∵f（x）==1-
设t=ax，则t＞0，y=1-的值域为（-1，1）
∴该函数的值域为（-1，1）
（3）f（x）是（-∞，+∞）上的增函数
证明：设x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）=-=
∵x1，x2∈R，且x1＜x2
∴ax1-ax2＜0，ax1+1＞0，ax2+1＞0，
∴＜0，
即f（x1）-f（x2）＜0，
f（x1）＜f（x2）
∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数