Question

已知各项均为整数的数列{a_n}满足：a₉=-1，a₁₃=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a_m+a_m+1+…+a_m+p=a_ma_m+1…a_m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．

Answer

（1）各项均为整数的数列{an}满足：a9=-1，a13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，列方程，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，即可求出数列{an}的通项公式；（2）根据（1）得出数列{an}为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…，分类讨论当am，am+1，…，am+p均为负数和当am，am+1，…，am+p均为正数，
可得am+am+1+…+am+p=0，根据负数项只有九项，我们按负数项分类：即可求得结果．
【解析】
（1）设由前12项构成的等差数列的公差为d，从第11项起构成的等比数列的公比为q，
由，可得，或．
又数列{an}各项均为整数，故；  所以，．
（2）数列{an}为：-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，…
当am，am+1，…，am+p均为负数时，
显然am+am+1+…+am+p＜0，所以amam+1…am+p＜0，即am，am+1，…，am+p共有奇数项，即p为偶数；
又最多有9个负数项，所以p≤8，p=2时，经验算只有（-3）+（-2）+（-1）=（-3）•（-2）•（-1）符合，
此时m=7；p=4，6，8时，经验算没有一个符合；
故当am，am+1，…，am+p均为负数时，存在有序数对（7，2）符合要求．
当am，am+1，…，am+p均为正数时，m≥11且m∈N*，
am+am+1+…+am+p=2m-11+2m-10+…+2m+p-11=2m-11（1+2+…+2p）=2m-11（2p+1-1）
因为2p+1-1是比1大的奇数，所以am+am+1+…+am+p能被某个大于1的奇数（2p+1-1）整除，
而不存在大于1的奇约数，故am+am+1+…+am+p≠amam+1…am+p；
故当am，am+1，…，am+p均为正数时，不存在符合要求有序数对；   
当am，am+1，…，am+p中既有正数又有负数，即am，am+1，…，am+p中含有0时，
有amam+1…am+p=0，所以am+am+1+…+am+p=0，
因为负数项只有九项，我们按负数项分类：
含1个负数项时，-1，0，1，符合，此时m=9，p=2；
含2个负数项时，-2，-1，0，1，2，符合，此时m=8，p=4；
含3个或4个负数项时，经验算不存在符合要求的；
含5个负数项时，-5，-4，-3-2，-1，0，1，2，4，8，符合，此时m=5，p=9；
含6个及6个以上负数项时，经验算不存在符合要求的；
故当am，am+1，…，am+p中既有正数又有负数时，存在三组有序数对（9，2），（8，4），（5，9）符合要求；
综上，存在四组有序数对（9，2），（8，4），（5，9），（7，2）符合要求．