如图，在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
，M是棱CC
1的中点，
（1）求证：A
1B⊥AM；
（2）求直线AM与平面AA
1B
1B所成角的正弦值．
考点分析：
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【选做题】（1）已知矩阵
，向量
．求向量α，使得A
2α=β．
（2）椭圆中心在原点，离心率为
，点P（x，y）是椭圆上的点，若
的最大值为10，求椭圆的标准方程．
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已知各项均为整数的数列{a
n}满足：a
9=-1，a
13=4，且前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列．
（1）求数列{a
n}的通项公式；
（2）若存在正整数m、p使得：a
m+a
m+1+…+a
m+p=a
ma
m+1…a
m+p，请找出所有的有序数对（m，p），并证明你的结论．
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已知函数f（x）=x（x-a）
2，g（x）=-x
2+（a-1）x+a（其中a为常数）；
（1）如果函数y=f（x）和y=g（x）有相同的极值点，求a的值；
（2）设a＞0，问是否存在
，使得f（x
）＞g（x
），若存在，请求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
（3）记函数H（x）=[f（x）-1]•[g（x）-1]，若函数y=H（x）有5个不同的零点，求实数a的取值范围．
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已知⊙O：x
2+y
2=1和点M（4，2）．
（Ⅰ）过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；
（Ⅱ）求以点M为圆心，且被直线y=2x-1截得的弦长为4的⊙M的方程；
（Ⅲ）设P为（Ⅱ）中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q．试探究：平面内是否存在一定点R，使得
为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．
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如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为
米（将眼睛距地面的距离按
米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
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