Question

已知方程C：x²+y²-2x-4y+m=0，
（1）若方程C表示圆，求实数m的范围；
（2）在方程表示圆时，该圆与直线l：x+2y-4=0相交于M、N两点，，求m的值；
（3）在（2）的条件下，定点A（1，0），P在线段MN上运动，求直线AP的斜率取值范围．

Answer

（1）由D2+E2-4F＞0，即可求得实数m的范围；
（2）利用圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离公式可求得圆心到直线距离d，利用圆的半径、弦长之半、d构成的直角三角形即可求得m的值；
（3）将圆的方程与直线l的方程联立可求得M，N的坐标，利用kAM，kAN即可求得直线AP的斜率取值范围．
【解析】
（1）由D2+E2-4F＞0，得4+16-4m＞0，所以m＜5…（4分）
（2）∵（x-1）2+（y-2）2=5-m，
∴圆心（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离d=，
又圆（x-1）2+（y-2）2=5-m的半径r=，
|MN|=，
所以+=5-m，得m=4…（8分）
（3）联立，解得M（0，2），N（，），…（12分）
而点A（1，0），
∴kAM=-2，kAN=2
∴k≥2或k≤-2…（14分）