Question

已知函数．
（1）求h（x）的最大值；
（2）若关于x的不等式xf（x）≥-2x²+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，利用导数的正负，即可确定函数的单调区间，从而可求h（x）的最大值；
（2）xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，等价于xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，分离参数，求出函数的最值，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）因为，所以，…（2分）
由h′（x）＞0，且x＞0，得0＜x＜e，由h′（x）＜0，且x＞0，x＞e，…（4分）
所以函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞），
所以当x=e时，h（x）取得最大值；…（6分）
（2）因为xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈（0，+∞）恒成立，
亦即对一切x∈（0，+∞）恒成立，…（8分）
设，因为，
故ϕ（x）在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增，ϕ（x）min=ϕ（3）=7+ln3，
所以a≤7+ln3．  …（10分）