Question

已知定义在R上函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=-f（2-x），当f（-3）=-2 时，f （2007）的值为（ ）
A．2
B．-2
C．4
D．-4

Answer

由题意：f（2+x）=-f（2-x）”可得f（x）=-f（4-x），由函数f（x）是偶函数可得f（x）=f（-x），结合两者得f（x-4）=-f（x），它是以8为周期的周期函数，
f（2007）=f（-1）=f（1），从而解决问题．
【解析】
∵f（2+x）=-f（2-x），
令t=2+x，则2-x=4-t
∴f（x）=-f（4-x），
∵由函数f（x）是偶函数
∴f（x）=f（-x），
∴结合两者得f（x-4）=-f（x），f（x-8）=f[（x-4）-4]=-f（x-4）=f（x），
它是周期函数，且周期为8，
∴f（2007）=f（250×8+7）=f（7）=f（-1）=f（1）
在f（2+x）=-f（2-x）中，令x=1，得f（3）=-f（1）=-2，
∴f（1）=2，即f（2007）=2
故选A．