Question

已知函数f（x）=a-（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断并证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer

（1）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，其次判断f（-x）±f（x）=0是否成立即可；
（2）利用函数的单调性的定义即可判断证明．
【解析】
（1）∵函数f（x）=a-（a∈R），定义域为实数集R．
①∵f（-x）-f（x）==+==0，∴f（-x）=f（x）对于任意实数x都成立，∴函数f（x）是偶函数；
②又f（-x）+f（x）=+a-=2a-×2，此式对于任意的实数x不满足f（-x）+f（x）=0，故此函数不是奇函数．
（2）【解析】
判断：函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
证明：任取0＜x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）==，
由0＜x1＜x2，∴，，
∴，，
又，，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．