Question

设D是棱长为4的正四面体P₁P₂P₃P₄及其内部的点构成的集合，点P是正四面体P₁P₂P₃P₄的中心，若集合S={P∈D||PP|≤|PP_i|，i=1，2，3，4}，则集合S表示的区域的体积是    ．

Answer

由集合S={P|P∈D，|PP|≤|PPi|，i=1，2，3，4}，则P点应位于过PPi的中点的四个垂面及正四面体的四个侧面之内，又由D是正四面体及其内部的点构成的集合，我们易画出满足条件的图象，并判断其形状，最后由正四面体的体积减去四个小正四面体的体积即可．
【解析】
如图所示，

分别作出过PP1、PP2、PP3、PP4的中点的且与各线段垂直的面，
不妨设PP1的垂面为ABC，垂足为H，若|PP|=|PP1|，则点P在面ABC上，若|PP|≤|PP1|，则点P在面ABC的与P位置相同的一侧．同理其它四个面也是，
则P点应位于四个垂面及正四面体所围成的区域内，
集合S表示的区域的体积是正四面体的体积减去四个相等的小正四面体的体积．
因为正四棱锥的棱长等于4，所以高为，
所以PP1=，所以四面体P1-ABC的地面ABC上的高，
设四面体P1-ABC的棱长为a，则a=，
所以，
则集合S表示的区域的体积V=．
故答案为．