Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点C（-1，0）且斜率为k的直线l与椭圆相交于不同的两点A，B，试问在x轴上是否存在点M，使是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用椭圆的离心率为，且过点（），求得椭圆的几何量，即可求椭圆的方程；
（2II）假设存在点M符合题意，设AB为y=k（x+1），代入椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），由利用韦达定理，及是与k无关的常数，建立方程组，即可求得结论．
【解析】
（1）∵椭圆离心率为，∴=，∴．…（1分）
∵椭圆过点（），代入椭圆方程，得．…（2分）
∴．…（4分）
∴椭圆方程为，即x2+3y2=5．…（5分）
（2）在x轴上存在点M（，0），使是与k无关的常数．…（6分）
证明：假设在x轴上存在点M（m，0），使是与k无关的常数，
∵直线L过点C（-1，0）且斜率为k，∴L方程为y=k（x+1），
代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2-5=0；
设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=-，x1x2= …（8分）
∵=（x1-m，y1），=（x2-m，y2），
∴=（k2+1）x1x2+（k2-m）（x1+x2）+k2+m2+=…（10分）
设常数为t，则．…（11分）
整理得（3m2+6m-1-3t）k2+m2-t=0对任意的k恒成立，
∴，解得m=，…（13分）
即在x轴上存在点M（，0），使是与k无关的常数．…（14分）