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函数f(x)=x2+ax+3. (1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值...

函数f(x)=x2+ax+3.
(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
(1)对一切实数x恒成立,转化为二次函数恒为非负,利用根的判别式小于等于0即可. (2)对于[-2,2]区间内的任意x恒成立,同样考虑二次函数,不过须分三种情况讨论(如图所示):一种是对称轴在区间上;另外两情况是种是区间在对称轴的左或右,最后结合图象即可解决问题. 【解析】 (1)∵x∈R时,有x2+ax+3-a≥0恒成立, 须△=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,所以-6≤a≤2. (2)当x∈[-2,2]时,设g(x)=x2+ax+3-a≥0, 分如下三种情况讨论(如图所示): ①如图(1),当g(x)的图象恒在x轴上方时,满足条件时,有△=a2-4(3-a)≤0,即-6≤a≤2. ②如图(2),g(x)的图象与x轴有交点, 但在x∈[-2,+∞)时,g(x)≥0,即即⇔解之得a∈Φ. ③如图(3),g(x)的图象与x轴有交点, 但在x∈(-∞,2]时,g(x)≥0,即即⇔⇔-7≤a≤-6 综合①②③得a∈[-7,2].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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