Question

已知函数f（x）=x³-2x²+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围；
（2）根据（1）可知k与-的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围；
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程．
【解析】
（1）f'（x）=x2-4x+3，则f′（x）=（x-2）2-1≥-1，
即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[-1，+∞）；------------（4分）
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------（6分）
解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x2-4x+3＜0或x2-4x+3≥1
得：x∈（-∞，2-]∪（1，3）∪[2+，+∞）；-------------------------------（9分）
（3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，
则切线方程是：y-（-2+3x1）=（-4x1+3）（x-x1），
化简得：y=（-4x1+3）x+（-+2），--------------------------（11分）
而过B（x2，y2）的切线方程是y=（-4x1+3）x+（-+2），--------------------------（，
由于两切线是同一直线，
则有：-4x1+3=-4x1+3，得x1+x2=4，----------------------（13分）
又由-+2=-+2，
即-（x1-x2）（+x1x2+）+（x1-x2）（x1+x2）=0
-（+x1x2+）+4=0，即x1（x1+x2）+-12=0
即（4-x2）×4+-12=0，-4x2+4=0
得x2=2，但当x2=2时，由x1+x2=4得x1=2，这与x1≠x2矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．----------------------------------（16分）