Question

已知数列{a_n}的首项a₁=a，S_n是数列{a_n}的前n项和，且满足：=3n²a_n+，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{a_n}是递增数列．

Answer

（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2，a3，结合等差数列的性质可求a，
（2）由=3n2an+，得-=3n2an，两式相减整理可得所以Sn+Sn-1=3n2，进而有Sn+1+Sn=3（n+1）2，两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a
【解析】
（1）在=3n2an+中分别令n=2，n=3，及a1=a
得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，
因为an≠0，所以a2=12-2a，a3=3+2a．                          …（2分）
因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，
即2（12-2a）=a+3+2a，解得a=3．…（4分）
经检验a=3时，an=3n，Sn=，Sn-1=
满足=3n2an+．
（2）由=3n2an+，得-=3n2an，
即（Sn+Sn-1）（Sn-Sn-1）=3n2an，
即（Sn+Sn-1）an=3n2an，因为an≠0，
所以Sn+Sn-1=3n2，（n≥2），①…（6分）
所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②
②-①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③…（8分）
所以an+2+an+1=6n+9，④
④-③，得an+2-an=6，（n≥2）
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，…（10分）
因为a2=12-2a，a3=3+2a．
∴an=  …（12分）
要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an+1，
且当n为偶数时，an＜an+1，即a＜12-2a，
3n+2a-6＜3（n+1）-2a+6（n为大于或等于3的奇数），
3n-2a+6＜3（n+1）+2a-6（n为偶数），
解得＜a＜．
所以M=（，），当a∈M时，数列{an}是递增数列．              …（16分）