Question

设双曲线的右焦点为F₂，过点F₂的直线l与双曲线C相交于A，B两点，直线l的斜率为，且；
（1）求双曲线C的离心率；
（2）如果F₁为双曲线C的左焦点，且F₁到l的距离为 ，求双曲线C的方程．

Answer

（1）利用双曲线的第二定义可求得双曲线C的离心率；
（2）利用点到直线间的距离公式可求得由F1到l的距离为，于是有=，可求得c，继而可得a2，b2的值，从而可求得双曲线C的方程．
【解析】
作双曲线的右准线L：x=，
分别作AA1⊥L，BB1⊥L，垂足分别为A1、B1，作BH⊥AA1，交AA1于H，
根据双曲线第二定义，==e，（e是离心率），
∵=2，
∴|AA1|=2|BB1|=2|A1H|，
∴H为线段AA1的中点，故|A1H|=|AH|，
设|BB1|=m，则|AH|=m，|AA1|=2m①
∵直线AB的斜率为，设AB与x轴成角为θ，则tanθ=，即=，
∴|BH|=|AH|=m，
∴在直角三角形BHA中，|AB|=6m；
∴|AF2|=4m，②
由①②得：e===2；
（2）∵直线方程l为：y=（x-c），即x-y-c=0，
左焦点F1至AB距离d===，
又F1到l的距离为 ，
∴=，
∴c=2，又e==2，
∴a=1，b=，
∴双曲线方程为：x2-=1．