Question

如图，椭圆C：，a，b为常数），动圆，b＜t₁＜a．点A₁，A₂分别为C的左，右顶点，C₁与C相交于A，B，C，D四点．
（Ⅰ）求直线AA₁与直线A₂B交点M的轨迹方程；
（Ⅱ）设动圆与C相交A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：为定值．

Answer

（I）设出线A1A的方程、直线A2B的方程，求得交点满足的方程，利用A在椭圆C上，化简即可得到M轭轨迹方程；
（II）根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等，可得A，A′坐标之间的关系，利用A，A′均在椭圆上，即可证得 =a2+b2为定值．
（I）【解析】
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=x1，y2=-y1，
∵A1（-a，0），A2（a，0），则直线A1A的方程为y=（x+a）①
直线A2B的方程为y=（x-a）②
由①×②可得：y2=（x2-a2）③
∵A（x1，y1）在椭圆C上，
∴
∴y12=b2（1-）
代入③可得：y2=（x2-a2）
∴（x＜-a，y＜0）；
（II）证明：设A′（x3，y3），
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
∴x12y12=x32y32
∵A，A′均在椭圆上，
∴b2x12（1-）=b2x32（1-）
∴x12-=x32-
∴a2（x12-x32）=x14-x34
∵t1≠t2，∴x1≠x3．
∴x12+x32=a2
∵y12=b2（1-），y32=b2（1-）
∴y12+y32=b2
∴=a2+b2为定值．