Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），且当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（ ）
A．（1，2）
B．（2，+∞）
C．（1，）
D．（，2）

Answer

由已知中f（x）是定义在R上的偶函数，对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），我们可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，则不难画出函数f（x）在区间（-2，6]上的图象，结合方程的解与函数的零点之间的关系，我们可将方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=）-logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
故函数f（x）在区间（-2，6]上的图象如下图所示：

若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-logax+2=0恰有3个不同的实数解
则loga4＜3，loga8＞3，
解得：＜a＜2
故选D