Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．

Answer

（1）先设f（x）=ax2+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用两方程相等对应项系数相等求a，b即可．
（2）转化为x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立问题，找其在[-1，1]上的最小值让其大于0即可．
【解析】
（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax2+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，所以a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以，∴，
所以f（x）=x2-x+1
（2）由题意得x2-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x2-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
设g（x）=x2-3x+1-m，其图象的对称轴为直线，所以g（x）在[-1，1]上递减．
故只需g（1）＞0，即12-3×1+1-m＞0，
解得m＜-1．