Question

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a•b＜0，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

Answer

（1）先把a•b＞0分为a＞0，b＞0与a＜0，b＜0两种情况；然后根据指数函数的单调性即可作出判断．
（2）把a•b＜0分为a＞0，b＜0与a＜0，b＞0两种情况；然后由f（x+1）＞f（x）化简得a•2x＞-2b•3x，再根据a的正负性得＞或＜；最后由指数函数的单调性求出x的取值范围．
【解析】
（1）①若a＞0，b＞0，则y=a•2x与y=b•3x均为增函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为增函数；
②若a＜0，b＜0，则y=a•2x与y=b•3x均为减函数，所以f（x）=a•2x+b•3x在R上为减函数．
（2）①若a＞0，b＜0，
由f（x+1）＞f（x）得a•2x+1+b•3x+1＞a•2x+b•3x，
化简得a•2x＞-2b•3x，即＞，
解得x＜；
②若a＜0，b＞0，
由f（x+1）＞f（x）可得＜，
解得x＞．