Question

如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°
（1）求证：EF⊥平面BCE；
（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）欲证EF⊥平面BCE，根据线面垂直的判定定理可知只需证EF⊥BE，BC⊥EF，BC∩BE=B，根据条件很显然；
（2）取BE的中点N，连接CN，MN，易证PM∥CN，根据线面平行的判定定理很快得证；
证明：（1）因为平面ABEF⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，BC⊥AB，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以BC⊥平面ABEF
所以BC⊥EF
因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，
所以∠AEB=45°，
又因为∠AEF=45，
所以∠FEB=90°，即EF⊥BE
因为BC⊂平面ABCD，BE⊂平面BCE，
BC∩BE=B
所以EF⊥平面BCE
（2）存在点M，当M为线段AE的中点时，PM∥平面
取BE的中点N，连接CN，MN，则MN=AB=PC
∴PMNC为平行四边形，所以PM∥CN
∵CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，
∴PM∥平面BCE．