(Ⅰ)【法一】取PA中点M,连接CM、BM,利用等腰三角形的性质,可得CM⊥PA,BM⊥PA,从而可得PA⊥平面BMC,故PA⊥BC;【法二】确定△ACB、△ACP、△BCP都是等腰直角三角形,CA、CB、CP两两垂直,从而可得BC⊥平面ACP,故PA⊥BC;
(Ⅱ)取AB中点H,连接CH、PH,则∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角,证明∠PCH=90°,即可求得二面角P-AB-C所成角的余弦值.
(Ⅰ)证明:【法一】如图,取PA中点M,连接CM、BM.
∵PC=AC,PB=AB,∴CM⊥PA,BM⊥PA,…(3分)
又CM∩BM=M,∴PA⊥平面BMC,BC⊂平面BMC,∴PA⊥BC. …(6分)
【法二】由知,△ACB、△ACP、△BCP都是等腰直角三角形,CA、CB、CP两两垂直,…(3分)
∴BC⊥平面ACP,PA⊂平面ACP,∴PA⊥BC. …(6分)
(Ⅱ)【解析】
取AB中点H,连接CH、PH.
∵AC=BC,PA=PB,∴CH⊥AB,PH⊥AB,
∴∠PHC就是二面角P-AB-C的平面角 …(9分)
∵,∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,∴△ACB是等腰直角三角形.
设BC=a,则在△PHC中,,,PC=a,…(12分)
∴PH2=PC2+CH2,∴∠PCH=90°.
在△PCH中,.
∴二面角P-AB-C所成角的余弦值为.…(14分)