Question

如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点．
（1）求异面直线BE与AC所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．

Answer

根据题中的条件可建立以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴的空间直角坐标系然后利用空间向量进行求【解析】

（1）根据建立的空间直角坐标系求出然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜＞然后根据cos＜＞≥0则异面直线BE与AC所成角即为＜＞，若cos＜＞＜0则异面直线BE与AC所成角即为π-＜＞进而可求出异面直线BE与AC所成角的余弦值．
（2）由（1）求出和平面ABC的一个法向量然后再利用向量的夹角公式cos=求出cos＜，＞再根据若cos＜，＞≥0则直线BE和平面ABC的所成角为-＜，＞，若cos＜，＞＜0则直线BE和平面ABC的所成角为＜，＞-然后再根据诱导公式和cos＜，＞的值即可求出直线BE和平面ABC的所成角的正弦值．
【解析】
（1）以O为原点，OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系．
则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）…（3分）
∴，
∴COS＜＞==-                …（5分）
所以异面直线BE与AC所成角的余弦为…（6分）
（2）设平面ABC的法向量为 则
知
知取，…（8分）
则…（10分）
故BE和平面ABC的所成角的正弦值为…（12分）